ORIART

  • Страница 2 из 6
  • «
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • »
Модератор форума: Plyumbum, anermak, univer, alorion  
Математические досуги
Дата: Вт, 07 Июн 2011, 17:40 | Сообщение #1
Тема для любителей математики.
Задачи, теоремы, интересные решения.
Не только в связи с квадратом и бумагой - всякие biggrin

Условия задач выделяйте шрифтом и цветом.
Дата: Сб, 11 Июн 2011, 19:59 | Сообщение #16
alorion, ответ необоснованный happy Хотя и правильный.
Укажите причины, побудившие воспользоваться приведённым алгоритмом cool

anermak, как раз спортивно (с минимальными усилиями, быстро), но не по форме. Всё правильно, но нужно несколько слов-пояснений.
Дата: Вс, 12 Июн 2011, 02:34 | Сообщение #17
zvira, anermak,выше я привел код. Это и есть обоснование и математическое решение. Решение похоже на двоичное приближение.
Здесь мы приближаемся от 10201 к нулю. А остальной набор чисел(от +-10000 до +-1) шаги приближения.

+10201-10000+9801-9604+9409-9216+9025-8836+8649-8464
+8281-8100+7921-7744+7569-7396+7225-7056+6889-6724
+6561-6400+6241-60 84+5929-5776 +5625-5476+5329-5184
+5041-4900+4761-4624+4489-4356+4225-4096+3969-3844
+3721-3600+3481-3364-3249+3136-3025+2916-2809+2704
-2601+2500-240 1+2304-2209+2116-2025+1936-1849+1764
-1681+1600-1521+1444-1369+1296-1225-1156+1089-1024
+961-900+841-784+729-676+625-576+529-484
+441-400 -361+324-289+256-225+196-169-144
+121-100+81-64-49-36+25-16-9-4-1=1


Мой flickr
Post edited by alorion - Вс, 12 Июн 2011, 02:40
Дата: Вс, 12 Июн 2011, 08:26 | Сообщение #18
Quote (zvira)
как раз спортивно (с минимальными усилиями, быстро)

Данная задача предназначена для детей 6,7-го касса(с отведенными на все задания олимпиады - 4 часа) и HE предполагает использование компьютера или даже калькулятора.(О чем пишет Alorion я сразу понял) А потому решение и назвал - "не спортивным"...
В общем, ладно - для не особо привередливых математиков biggrin слегка усложню числовой ряд, чтобы по чесноку все было.. smile
1'2, 2'2, 3'2......(А-1)'2, A'2, где А = 800000000013

alorion, Приближения не катят smile ,... ну или тогда давайте как профессионалы поступать что ли...- докажите хотя бы индукцией более сильное утверждение, что данный алгоритм приближения ВСЕГДА! выдаёт минимальную неотрицательную сумму числового ряда S(n)=1 для любого n=8K+13, где К Е N
Хотя это все равно не дело, так как для получения каждого знака требуется произвести расчет частичной суммы, что для чисел даже, А > 1000, без ЭВМ просто нереально. Я по своей уж явно детской наивности чуть было не подумал, что А=101 - это уже, (простите за выражение)- дофига, но, как оказалось - отнюдь!!! happy Оригамисты - ребята настырные!!! biggrin


Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Вс, 12 Июн 2011, 11:22 | Сообщение #19
Докажем по индукции:
База для 13 подбирается.
Индукционный переход:
Покажем как 8 квадратов последовательных натуральных чисел разбить на 2 группы с одинаковой суммой:(a+1)(a+1)+(a+4)(a+4)-(a+2)(a+2)-(a+3)(a+3)=4
Для a+5 a+6 a+7 a+8 также получаем 4.
Получаем ,что знакопеременная сумма 8 квадратов последовательных натуральных чисел может быть равна 0.
P.S. В качестве базы для решения задачи где А = 800000000013
можно использовать базу А = 103(которая уже решена) smile
Дата: Вс, 12 Июн 2011, 12:13 | Сообщение #20
Vadim, Вот - другое дело!!! smile МОЛОДЕЦ!!!!!
Хотя можно и с другой стороны подойти, например в случае с 101, достаточно было обратить внимание...
-1^2 - 2^2 - 3^2 - 4^2 - 5^2 + 6^2 + 7^2 - 8^2+9^2+10^2-11^2+12^2-13^2 + S = 1+S , где S=0, легко разбивается на 11 сумм из чисел типа a(n)=(44+n)^2-n^2, с 14 и по 57 члены, с учетом того что - a(n-3)+a(n-2)+a(n-1)-a(n) = 0, откуда и следует равенство для 8К + 13 числа членов ряда, потому как каждая из к частичных сумм будет равна 0, кроме первых 13 членов, а сама сумма нулю не равна(как правильно заметил bezrukov) из-за того, что ряд имеет нечетное число нечетных членов.

Вот еще одна простенькая задачка
так, дух перевести после очередного олимпиадного задания, например паттернов Гайардо smile ...


Задача №5
Некто оставил в наследство определенную сумму денег. Первый наследник получил 500 у. е. и 1/7 оставшейся суммы, второй – 1000 у. е. и 1/7 оставшейся суммы, третий – 1500 у. е. и 1/7 оставшейся суммы и т. д. Все наследники получили поровну. Найти величину наследства и количество наследников.




Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Пн, 13 Июн 2011, 15:55 | Сообщение #21
Может, есть какое-нибудь оригинальное решение, но попробовал "в лоб", и получилось.
N - Величина наследства.
Тогда для первых двух можно записать уравнение:
500+(N-500)/7=1000+(N-1500-(N-500)/7)/7
Откуда N=18000.
Тогда каждый наследник получил по 3000уе, а значит, наследников шестеро.
Дата: Пн, 13 Июн 2011, 17:50 | Сообщение #22
Aporiya, Да, конечно!!! Все правильно...Молодец!! smile
Но можно и с обратной стороны подойти, будет немного красивее smile
Решение:
1) Когда последний будет получать свою часть, то остатка не будет, а значит он получит всего 500N, где N - количество человек.
2) Разберемся теперь с предпоследним наследником...
он получит 500(N-1) плюс 1/7 от остатка, а остаток равен сумме последнего наследника 500N и разности 500N-500(N-1)=500
3) Приравнивая капиталы последнего и предпоследнего получаем
500N = 500(N-1)+ 1/7(500N+500)
3500 = 500N+500
N=6
4)Так как последний получил как и все и получил 500N,
значит каждый из 6-ых получил по 3000, итог 18000 уе

Вот еще одна забавная задачка...


Задача №6. Найдётся ли плоская четырёхугольная ломанная, которую можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на 6 частей?



Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Пн, 13 Июн 2011, 21:20 | Сообщение #23
Как я понял, главное, чтобы он был невыпуклым. А вот такая штука как скрещенный четырёхугольник подойдёт? Хотя я не уверен, что его можно назвать четырёхугольником...
Прикрепленный файл: 3155297.jpg (14.7 Kb) · 8662259.jpg (13.5 Kb)
Дата: Пн, 13 Июн 2011, 21:59 | Сообщение #24
Quote (Aporiya)

Как я понял, главное, чтобы он был невыпуклым

Да, конечно!! smile Все правильно!!!
Оба решения вполне подходят, так как форма фигуры не уточнялась...

Задача №7
а) Существует ли пространственный пятиугольник (замкнутая ломаная в пространстве), все стороны которого равны, а углы между любыми двумя смежными сторонами прямые?
б) А если равными должны быть лишь четыре стороны?



Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Вт, 14 Июн 2011, 11:39 | Сообщение #25
А) Если раскрасить узлы пространства в 2 цвета шахматной раскраской , то получим инвариант: при переходе по ребру меняется цвет,а т.к. ребер 5 (на делится на 2) то пройдя по всем ребрам цвет должен был поменяться , что неверно .
Кстати,четырехугольником называется замкнутая ломанная с 4я ребрами без самопересечений
Post edited by Vadim - Вт, 14 Июн 2011, 11:44
Дата: Вт, 14 Июн 2011, 16:35 | Сообщение #26
Ответ (координаты точек-вершин)
б) Например, (0,0,0) -- (0,0,1) -- (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,0,0). Первые 4 отрезка равны 1 (очевидно), последний ~1,41 (кв.корень из 2)
Дата: Ср, 15 Июн 2011, 16:59 | Сообщение #27
Vadim, zvira, Молодцы!! smile Как всегда все правильно..
Покажу нагляднее ответ..
Достаточно показать, что вершины всех возможных ПП ( biggrin ) будут расположены в вершинах 8 кубиков стыкуемых в общий кубик вдоль граней, где одна из вершин находиться в центре, а замыкание должно происходить по ребрам.(рис) Далее нужно показать что все равносторонние 90 град ломанные в пределах ребер кубика будут иметь четное число сторон, потому и 5 исключаем.
б)
Рисунок ко второй.


В приложении к задаче пунктик со звездочкой (кто захочет)* smile

Задача №7*.
Определить угол между смежными сторонами пространственного пятиугольника, у которого все стороны равны и углы между смежными сторонами тоже равны, при чем стороны совпадают с соответствующими ребрами некой тригональной бипирамиды (см.рис.)



Новая задачка из жизни biggrin

Задача № 8.
Имеется 8 батареек (4 заряженных и 4 разряженных) и транзистор, в который нужно вставить две заряженные батарейки. Неизвестно, какие из батареек заряжены.
За какое наименьшее количество попыток (попытка - это взять две батарейки, вставить в транзистор и проверить, работает ли он) можно гарантированно послушать радио?
(Радио подает признаки жизни только если вставлены 2 рабочие батарейки)



Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Ср, 15 Июн 2011, 18:46 | Сообщение #28
anermak, если давать несколько задач параллельно, наверное, их лучше пронумеровать (чтобы не было путаницы) tongue
Для решённых задачек можно ставить печать "решено". Её адрес: http://oriart.ru/ready.png

Из последнего:


Про батарейки: необходимо уточнение. Как будет реагировать приёмник на вариант заряженная+разряженная? Одно из трёх:
- никакой реакции, т.е. аналогично двум разряженным
- мигнула, но молчит, т.е. видно, что одна из батареек хорошая
- работает даже с одной плохой, т.е. аналогично двум заряженным.
Без этого нельзя дать точный ответ.
Дата: Ср, 15 Июн 2011, 19:19 | Сообщение #29
Quote (zvira)
никаких звёздочек
К сожалению 2arctg(sqr(2/3)) не равен 60. smile Повторюсь - ВСЕ углы ломанной - равны!!! Про равенство ребер бипирамиды, не принадлежащих ломанной - ни слова smile как и про то, что бипирамида - правильная, а значит и правильность треугольных граней не очевидна. В данном случае это не так- звездочку пока не снимаю tongue ....

Quote (zvira)
Про батарейки: необходимо уточнение. Как будет реагировать приёмник на вариант заряженная+разряженная?

Радио подает признаки жизни только если вставлены 2 рабочие батарейки. smile


Делай, что должен и будь, что будет!!!!))
Дата: Ср, 15 Июн 2011, 20:09 | Сообщение #30
Тысяча извинений!
Quote (anermak)
ВСЕ углы ломанной - равны!!!
из рисунка это, к сожалению, не очевидно. Я увидела два слепленных тетраэдра. Возможно, я невнимательно прочла условие wacko только картинку глянула

Тогда есть над чем подумать surprised
  • Страница 2 из 6
  • «
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • »
Поиск:
Наверх

Новые сообщения

Популярные темы