   | |
| Модератор форума: Plyumbum, anermak, univer, alorion |
| Форум Oriart » Разное » Беседка оригамистов и не только » Математические досуги (интересные математические задачи и факты) |
| Математические досуги |
alorion, ответ необоснованный
 Хотя и правильный. Укажите причины, побудившие воспользоваться приведённым алгоритмом  anermak, как раз спортивно (с минимальными усилиями, быстро), но не по форме. Всё правильно, но нужно несколько слов-пояснений. |
zvira, anermak,выше я привел код. Это и есть обоснование и математическое решение. Решение похоже на двоичное приближение.
Здесь мы приближаемся от 10201 к нулю. А остальной набор чисел(от +-10000 до +-1) шаги приближения. +10201-10000+9801-9604+9409-9216+9025-8836+8649-8464 +8281-8100+7921-7744+7569-7396+7225-7056+6889-6724 +6561-6400+6241-60 84+5929-5776 +5625-5476+5329-5184 +5041-4900+4761-4624+4489-4356+4225-4096+3969-3844 +3721-3600+3481-3364-3249+3136-3025+2916-2809+2704 -2601+2500-240 1+2304-2209+2116-2025+1936-1849+1764 -1681+1600-1521+1444-1369+1296-1225-1156+1089-1024 +961-900+841-784+729-676+625-576+529-484 +441-400 -361+324-289+256-225+196-169-144 +121-100+81-64-49-36+25-16-9-4-1=1 Мой flickr
Post edited by alorion - Вс, 12 Июн 2011, 02:40
|
Quote (zvira) как раз спортивно (с минимальными усилиями, быстро) Данная задача предназначена для детей 6,7-го касса(с отведенными на все задания олимпиады - 4 часа) и HE предполагает использование компьютера или даже калькулятора.(О чем пишет Alorion я сразу понял) А потому решение и назвал - "не спортивным"... В общем, ладно - для не особо привередливых математиков  слегка усложню числовой ряд, чтобы по чесноку все было..  1'2, 2'2, 3'2......(А-1)'2, A'2, где А = 800000000013 alorion, Приближения не катят ,... ну или тогда давайте как профессионалы поступать что ли...- докажите хотя бы индукцией более сильное утверждение, что данный алгоритм приближения ВСЕГДА! выдаёт минимальную неотрицательную сумму числового ряда S(n)=1 для любого n=8K+13, где К Е N Хотя это все равно не дело, так как для получения каждого знака требуется произвести расчет частичной суммы, что для чисел даже, А > 1000, без ЭВМ просто нереально. Я по своей уж явно детской наивности чуть было не подумал, что А=101 - это уже, (простите за выражение)- дофига, но, как оказалось - отнюдь!!! Оригамисты - ребята настырные!!!
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
Завсегдатай
 Сообщений: 69
Откуда: Харьков
Докажем по индукции:
База для 13 подбирается. Индукционный переход: Покажем как 8 квадратов последовательных натуральных чисел разбить на 2 группы с одинаковой суммой:(a+1)(a+1)+(a+4)(a+4)-(a+2)(a+2)-(a+3)(a+3)=4 Для a+5 a+6 a+7 a+8 также получаем 4. Получаем ,что знакопеременная сумма 8 квадратов последовательных натуральных чисел может быть равна 0. P.S. В качестве базы для решения задачи где А = 800000000013 можно использовать базу А = 103(которая уже решена)
|
Vadim, Вот - другое дело!!!
МОЛОДЕЦ!!!!! Хотя можно и с другой стороны подойти, например в случае с 101, достаточно было обратить внимание... -1^2 - 2^2 - 3^2 - 4^2 - 5^2 + 6^2 + 7^2 - 8^2+9^2+10^2-11^2+12^2-13^2 + S = 1+S , где S=0, легко разбивается на 11 сумм из чисел типа a(n)=(44+n)^2-n^2, с 14 и по 57 члены, с учетом того что - a(n-3)+a(n-2)+a(n-1)-a(n) = 0, откуда и следует равенство для 8К + 13 числа членов ряда, потому как каждая из к частичных сумм будет равна 0, кроме первых 13 членов, а сама сумма нулю не равна(как правильно заметил bezrukov) из-за того, что ряд имеет нечетное число нечетных членов. Вот еще одна простенькая задачка так, дух перевести после очередного олимпиадного задания, например паттернов Гайардо ... Задача №5 Некто оставил в наследство определенную сумму денег. Первый наследник получил 500 у. е. и 1/7 оставшейся суммы, второй – 1000 у. е. и 1/7 оставшейся суммы, третий – 1500 у. е. и 1/7 оставшейся суммы и т. д. Все наследники получили поровну. Найти величину наследства и количество наследников. 
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
Может, есть какое-нибудь оригинальное решение, но попробовал "в лоб", и получилось.
N - Величина наследства. Тогда для первых двух можно записать уравнение: 500+(N-500)/7=1000+(N-1500-(N-500)/7)/7 Откуда N=18000. Тогда каждый наследник получил по 3000уе, а значит, наследников шестеро. |
Aporiya, Да, конечно!!! Все правильно...Молодец!!
Но можно и с обратной стороны подойти, будет немного красивее Решение: 1) Когда последний будет получать свою часть, то остатка не будет, а значит он получит всего 500N, где N - количество человек. 2) Разберемся теперь с предпоследним наследником... он получит 500(N-1) плюс 1/7 от остатка, а остаток равен сумме последнего наследника 500N и разности 500N-500(N-1)=500 3) Приравнивая капиталы последнего и предпоследнего получаем 500N = 500(N-1)+ 1/7(500N+500) 3500 = 500N+500 N=6 4)Так как последний получил как и все и получил 500N, значит каждый из 6-ых получил по 3000, итог 18000 уе Вот еще одна забавная задачка... Задача №6. Найдётся ли плоская четырёхугольная ломанная, которую можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на 6 частей?
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
Как я понял, главное, чтобы он был невыпуклым. А вот такая штука как скрещенный четырёхугольник подойдёт? Хотя я не уверен, что его можно назвать четырёхугольником...
Прикрепленный файл:
3155297.jpg
(14.7 Kb)
·
8662259.jpg
(13.5 Kb)
|
Quote (Aporiya) Как я понял, главное, чтобы он был невыпуклым Да, конечно!! Все правильно!!! Оба решения вполне подходят, так как форма фигуры не уточнялась... Задача №7 а) Существует ли пространственный пятиугольник (замкнутая ломаная в пространстве), все стороны которого равны, а углы между любыми двумя смежными сторонами прямые? б) А если равными должны быть лишь четыре стороны?
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
|
Завсегдатай
Сообщений: 69
Откуда: Харьков
А) Если раскрасить узлы пространства в 2 цвета шахматной раскраской , то получим инвариант: при переходе по ребру меняется цвет,а т.к. ребер 5 (на делится на 2) то пройдя по всем ребрам цвет должен был поменяться , что неверно .
Кстати,четырехугольником называется замкнутая ломанная с 4я ребрами без самопересечений
Post edited by Vadim - Вт, 14 Июн 2011, 11:44
|
Vadim, zvira, Молодцы!!
Как всегда все правильно.. Покажу нагляднее ответ.. Достаточно показать, что вершины всех возможных ПП ( ) будут расположены в вершинах 8 кубиков стыкуемых в общий кубик вдоль граней, где одна из вершин находиться в центре, а замыкание должно происходить по ребрам.(рис) Далее нужно показать что все равносторонние 90 град ломанные в пределах ребер кубика будут иметь четное число сторон, потому и 5 исключаем.  б) Рисунок ко второй.  В приложении к задаче пунктик со звездочкой (кто захочет)* Задача №7*. Определить угол между смежными сторонами пространственного пятиугольника, у которого все стороны равны и углы между смежными сторонами тоже равны, при чем стороны совпадают с соответствующими ребрами некой тригональной бипирамиды (см.рис.)  Новая задачка из жизни Задача № 8. Имеется 8 батареек (4 заряженных и 4 разряженных) и транзистор, в который нужно вставить две заряженные батарейки. Неизвестно, какие из батареек заряжены. За какое наименьшее количество попыток (попытка - это взять две батарейки, вставить в транзистор и проверить, работает ли он) можно гарантированно послушать радио? (Радио подает признаки жизни только если вставлены 2 рабочие батарейки)
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
anermak, если давать несколько задач параллельно, наверное, их лучше пронумеровать (чтобы не было путаницы)
 Для решённых задачек можно ставить печать "решено". Её адрес: http://oriart.ru/ready.png Из последнего: Про батарейки: необходимо уточнение. Как будет реагировать приёмник на вариант заряженная+разряженная? Одно из трёх: - никакой реакции, т.е. аналогично двум разряженным - мигнула, но молчит, т.е. видно, что одна из батареек хорошая - работает даже с одной плохой, т.е. аналогично двум заряженным. Без этого нельзя дать точный ответ. |
Quote (zvira) никаких звёздочек Повторюсь - ВСЕ углы ломанной - равны!!! Про равенство ребер бипирамиды, не принадлежащих ломанной - ни слова как и про то, что бипирамида - правильная, а значит и правильность треугольных граней не очевидна. В данном случае это не так- звездочку пока не снимаю .... Quote (zvira) Про батарейки: необходимо уточнение. Как будет реагировать приёмник на вариант заряженная+разряженная? Радио подает признаки жизни только если вставлены 2 рабочие батарейки.
Делай, что должен и будь, что будет!!!!)) |
Тысяча извинений!
Quote (anermak) ВСЕ углы ломанной - равны!!!  только картинку глянула Тогда есть над чем подумать 
|
| |||
